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Symbole d’un condensateur parfait et conventions pour les charges et la tension.

Et condensateur est composé de deux plaques de conducteurs appelées armatures et séparées par un isolant électrique. Formellement, il sert de réservoir d’électrons : il peut être rempli d’électrons ou vidé en mettant une tension sur ses entrées. Les charges sont stockées dans les cadres, l’isolation empêchant tout courant entre les cadres, toute fuite. Les charges positives s’accumulent sur une armature, tandis que les charges négatives s’accumulent sur l’autre. De plus, la charge sur une armature est exactement égale à l’autre, en valeur absolue. Résumer :

$\displaystyle Q_armature^+=-Q_armature^-$

Condensateur, répartition de charge sur les armatures.

Cette explication permet de mieux comprendre le comportement d’un condensateur en courant continu, lorsqu’il est complètement chargé. Cela équivaut à un interrupteur ouvert. C’est parce que l’isolant du condensateur empêche le courant de circuler à travers le condensateur. Si le condensateur est complètement chargé, la tension à ses bornes est simplement égale à la tension du générateur qui l’alimente. Par contre, le comportement du condensateur est différent lorsqu’il se charge ou se décharge.

Relation entre la charge et la tension aux bornes d’un condensateur.

La quantité de charge stockée dans un condensateur est proportionnelle à la tension, le coefficient de proportionnalité étant appelé le capacité du condensateur, noté $\displaystyle C$. Elle est définie par la relation suivante, avec :

• Q la charge stockée sur les renforts ;
• U la tension aux bornes du condensateur ;
• C la capacité du condensateur.

$\displaystyle Q=C\cdot U$

L’inverse de la capacité d’un condensateur s’appelleélastance. Il est marqué S.

$\displaystyle S=\frac UQ$

Partons de l’équation :

$\displaystyle Q=C\cdot U$

En le différenciant par la variable temps, on obtient l’équation suivante :

$\displaystyle \frac dQdt=\frac d\left(C\cdot U\right)dt$

Le terme de gauche n’est autre que l’intensité aux bornes du condensateur :

$\displaystyle I=\frac d\left(C\cdot U\right)dt$

La capacité du condensateur étant une constante, on a :

$\displaystyle I=C\cdot \frac dUdt$

On peut noter que cette équation permet de retrouver le comportement en régime établi (lorsque la tension et le courant aux bornes du condensateur ne varient pas). En régime établi, la tension aux bornes du condensateur est constante, stable, tout comme le courant qui le traverse. Dans ce cas, on retrouve un courant d’intensité nulle. En d’autres termes, il peut y avoir une tension aux bornes du condensateur, mais aucun courant ne peut circuler à travers le condensateur. Quel est le comportement d’un interrupteur ouvert, un morceau d’isolant.

Un condensateur stocke des charges, ce qui implique qu’il stocke de l’énergie. Ajouter des charges dans un condensateur nécessite en effet de les déplacer dans les armatures, ce qui consomme de l’énergie. Pour cela, il faut placer une tension à ses bornes, ce qui va entraîner les charges vers le potentiel le plus bas, c’est-à-dire dans l’induit. Le mouvement des charges n’est rien d’autre qu’un courant dont on connaît l’intensité. Et qui dit tension et intensité dit puissance, puissance qui sert ici à ajouter les charges à l’induit. En clair, l’énergie stockée dans un condensateur n’est autre que l’énergie qu’il a fallu fournir pour charger les armatures avec la charge Q.

Contrairement à ce que nous dit l’intuition, l’énergie stockée dans un condensateur n’est pas proportionnelle au nombre de charges. En effet, l’ajout d’une charge nécessite plus d’énergie que l’ajout de la précédente. On peut comprendre cela assez intuitivement à partir d’un condensateur vide, sans charges sur les armatures. L’ajout de la première charge est celui qui demande le moins d’énergie : il n’y a pas de force résistante qui empêche la charge d’entrer dans l’armature, sauf la résistance des fils. Mais lors de l’ajout de la deuxième charge, il faudra vaincre la répulsion électrique de la première charge, ce qui nécessitera d’utiliser un peu plus d’énergie. Même chose lors de l’ajout de la troisième charge, qui nécessitera de dépenser suffisamment pour vaincre la répulsion des deux premières charges, et ainsi de suite. Ce faisant, l’ajout d’une nouvelle charge dans le condensateur nécessite un surplus d’énergie, pour vaincre la répulsion des charges déjà en place. Plus il y a de charges sur les renforts, plus cet excès d’énergie sera important.

Pour calculer l’énergie stockée dans un condensateur, nous partirons de la définition de la puissance $\displaystyle P$ :

$\displaystyle \frac dEdt=P$

On applique alors la relation $\displaystyle P=U\cdot I$ :

$\displaystyle \frac dEdt=U\cdot I$

On applique alors la relation $\displaystyle I=C\cdot \frac dUdt$ pour l’intensité :

$\displaystyle \frac dEdt=C\cdot U\cdot \frac dUdt$

On multiplie par $\displaystyle dt$ :

$\displaystyle dE=C\cdot U\cdot dU$

En intégrant, on trouve :

$\displaystyle \int dE=C\cdot \int \left(U\cdot dU\right)$

Ce qui donne le résultat final :

$\displaystyle E=\frac 12\cdot C\cdot U^2$

Les condensateurs peuvent être classés en plusieurs catégories, selon la forme de leurs armatures.

• Dans le condensateurs platsces renforts sont deux plaques planes de métal séparées par un isolant.
• Dans un condensateur cylindriqueles deux armatures ont une forme cylindrique.
• Enfin, dans un condensateur sphériqueles armatures sont des sphères métalliques.

Selon le type de condensateur utilisé, la capacité peut être calculée plus ou moins facilement. Le tableau ci-dessous résume les formules de capacité pour chaque type de condensateur. Dans ces formules, le terme $\displaystyle \varepsilon$ est un paramètre appelé permittivité.