Pompe à chaleur de piscine : pas cher – soldes – choix – Puissance de deux — Wikipédia

Affichage des puissances entières de 2, de 1 à 1024 (2⁰ à 2 heures^dix).

En arithmétique, un puissance de deux désigne un nombre noté sous la forme 2ⁿ où n est un nombre naturel. Il représente le produit du nombre 2 Répète n fois avec lui-même, c’est-à-dire : $\displaystyle \underbrace 2\times \cdots \times 2 _n\ \mathrm facteurs$.

Ce cas particulier des puissances entières de deux est généralisé dans l’ensemble des nombres réels, par la fonction exponentielle de base 2, dont la fonction réciproque est le logarithme binaire.

Par convention et pour assurer la continuité de cette fonction exponentielle de base 2, la puissance nulle de 2 est prise égale à 1, c’est-à-dire que 2⁰ = 1.

Comme 2 est la base du système binaire, les puissances de deux sont courantes en informatique. Sous forme binaire, ils s’écrivent toujours « 10000…0 », comme c’est le cas pour une puissance de dix écrite dans le système décimal.

Selon le domaine d’activité, on note une puissance de deux :

Il existe plusieurs prononciations :

• 2 exposant n
• 2 puissance n
• 2 à la puissance n
• 2 portés au pouvoir n
• n-ième puissance de 2

L’informatique basée sur le système binaire utilise toujours des puissances de deux. En particulier, 2ⁿ donne le nombre de voies des bits dans un entier binaire de longueur n peut être arrangé. Par exemple, un octet contient 8 bits et peut donc stocker 2⁸ différentes valeurs (soit 256).

De plus, un kibioctet contient 1024 (2^dix) octets.

La plupart des dimensions en informatique sont des sommes de puissances de 2, que ce soit pour la taille de la mémoire (2, 4, 8 ou 12 gigaoctets), la résolution vidéo (pour un écran de 14 pouces, il y a typiquement 640 par 480 pixels, où 640 = 512 + 128 et 480 = 256 + 128 + 64 + 32) ou le dimensionnement des mémoires de masse.

Les 33 premières puissances de deux^[1] sont :

Puissance de deux ayant comme exposant une puissance de deux[modifier | modifier le code]

Les cellules de mémoire et les registres modernes gèrent souvent un nombre de bits qui est une puissance de deux. Les puissances les plus fréquentes qui apparaissent sont celles dont l’exposant est aussi une puissance de deux.

La note
$\displaystyle 2^2^n\quad \rm signifie\quad 2^(2^n)$

(et non (2²)ⁿcette dernière expression étant en fait égale à 2²ⁿ=4ⁿ).

Exemples^[2]

• n = 6 : 2⁶⁴ = 18 446 744 073 709 551 616
• n = 7 : 2¹²⁸ = 340 282 366 920 938 463 463 374 607 431 768 211 456

• 2²⁴ = 16 777 216, le nombre de couleurs uniques pouvant être affichées en couleurs vraies, qui est utilisé par la plupart des écrans d’ordinateur.
  Ce nombre est le résultat de l’utilisation du système RVB à trois canaux, avec 8 bits pour chaque canal, soit 24 bits au total.
• 2³² -1 = 4 294 967 295 est la taille de fichier maximale dans le système de fichiers FAT32, qui est de 4 Gio moins 1 octet.
• 2³² = 4 294 967 296 est le nombre d’adresses IPv4.
• 2⁶⁴ – 1 = 18 446 744 073 709 551 615, c’est le nombre de grains de blé que Sissa, l’inventeur légendaire du jeu d’échecs, demanda à son seigneur à travers un problème mathématique : un (2⁰) sur la première case, deux (2¹) sur le deuxième espace, puis quatre (2²), huit (2³), saisir (2⁴), etc jusqu’à 2⁶³ car un échiquier a 64 cases. Il aurait donc dû recevoir 2⁶⁴ – 1 grain, un nombre si élevé que même en 2012, il représente 1000 fois la production mondiale annuelle de blé.
• 2¹²⁸ = 340 282 366 920 938 463 463 374 607 431 768 211 456, soit environ 3,4 10^38, est le nombre d’adresses IPv6.

• La somme de n premières puissances de 2 est égale à la prochaine puissance de 2 moins 1 :$\displaystyle S_n=\sum _i=0^n-12^i=2^n-1$ou encore : toute puissance de 2 est égale à la somme de toutes les puissances inférieures de 2 plus 1 :$\displaystyle 2^n=S_n+1.$Les puissances de 2 sont donc des nombres presque parfaits.
• Un entier est divisible par 2ⁿ si et seulement si c’est n les derniers chiffres binaires sont tous des zéros.
• Les puissances de 2 sont les seuls nombres qui ne sont pas divisibles par un nombre impair autre que 1.
• Les chiffres des unités de puissances successives de 2 forment une séquence périodique (2, 4, 8 et 6).
• Chaque puissance de 2 est une somme de coefficients binomiaux :$\displaystyle 2^n=\sum _k=0^nn \choose k.$
• Le nombre réel 0,12481632641282565121024… formé par la suite (2ⁿ)_n∈ℕ puissances de 2 est un nombre d’univers^[3].

Un nombre premier de Mersenne est un nombre premier de la forme 2^N – 1. Par exemple, le nombre premier 31, qui s’écrit sous la forme 2⁵ – 1.

Pour ça 2^N – 1 est premier, il faut que N non plus, mais cette condition n’est pas suffisante. Le plus petit contre-exemple est
2¹¹ – 1 = 2047 = 23 × 89.